Лекция 10. Раздел 10.1
Второй замечательный предел.

Рассмотрим числовую последовательность , где , С ростом основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении сказать нельзя.

Для вычисления воспользуемся выражением для бинома Ньютона:

В нашем случае

.

Из полученного выражения следует, что с увеличением величина растет. Действительно, перейдем от к . Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как . Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то . Значит, числовая последовательность монотонно возрастает.

Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида единицей.
Так как , то .

Кроме того , ,..., . Значит,

.

В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма первых членов такой прогрессии равна: . В нашем случае . С ростом величина будет, очевидно, стремится к единице. Значит, , то есть, ограничено сверху.

Итак, мы получили, что . Но так как монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:

Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений :

.

Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.

Число используется для введения натуральных логарифмов. Такие логарифмы обозначаются , при этом .

Следствие 10.1.1.
.

В частности, если , то .

Следствие 10.1.2.
.

В частности, если , то .